1.3　名校考研真题详解

一、选择题

1信号（sin2t＋cos5t）²的周期是（　　）。[电子科技大学2013研]

A．π/5

B．π/2

C．2π

D．不是周期信号

【答案】C

【解析】将（sin2t＋cos5t）²展开可得

由此可知上式四项的周期分别为2π/4，2π/7，2π/3，2π/10，最小公倍数为2π，因此信号周期为2π。

2的值为（　　）。[武汉大学2015研]

A．不确定

B．e^－2

C．0

D．e²

【答案】C

【解析】由冲激信号的抽样特性可知

3积分等于（　　）。[武汉科技大学2017研]

A．－2δ（t）

B．－2u（t）

C．u（t－2）

D．－2δ（t－2）

【答案】B

【解析】根据冲激函数的性质有

4y（t）＝5cos（3t＋π/2）＋3cos（2t＋π/3）的周期是（　　）。[西南交通大学2014研]

A．π/6

B．π/3

C．2π

D．∞

【答案】C

【解析】第一项周期为T₁＝2π/3，第二项周期T₂＝2π/2＝π，两者公倍数是2π，因此y（t）的周期为2π。

5下列各表达式中错误的是（　　）。[武汉科技大学2017研]

A．δ＇（t）＝－δ＇（－t）

B．

C．

D．δ＇（t－t₀）＝－δ＇（t₀－t）

【答案】D

【解析】对于D项由冲激偶函数性质可知δ＇（t－t₀）＝δ＇[（－1）（t₀－t）]＝－δ＇（t₀－t）。

6若f（t）是已录制声音的磁带，则下列表述错误的是（　　）。[西南交通大学2014研]

A．f（－t）表示将磁带倒带转播放生的信号

B．f（t＋2）表示将磁带以超前2个单位播放

C．f（t/2）表示原磁带放音速度以二倍速度加快播放

D．2f（t）将磁带的音量放大一倍播放

【答案】C

【解析】f（t/2）表示将声音长度扩展两倍，正常放音情况下，原磁带放音速度会降低一半播放。

7若f（t）为系统的输入激励，y（t）为系统的输出响应，y（0）为系统的初始状态，下列哪个输出响应所对应的系统是线性系统（　　）。[西南交通大学2014研]

A．y（t）＝5y²（0）＋3f（t）

B．

C．y（t）＝2y（0）f（t）＋2f（t）

D．y（t）＝4y（0）＋2f²（t）

【答案】B

【解析】对于微分方程形式的系统而言，线性系统中不会出现输入、输出的乘积形式，也不会出现输入本身、输出本身的乘积形式。

8系统是（　　）。[电子科技大学2013研]

A．非线性、时不变、非因果、稳定

B．线性、时变、非因果、稳定

C．非线性、时变、因果、非稳定

D．线性、时不变、非因果、稳定

【答案】B

【解析】①线性

设系统算子为T，则c₁x₁（t）＋c₂x₂（t）通过系统后的结果T[c₁x₁（t）＋c₂x₂（t）]为

因此系统是线性的。

②时不变性

令t→t－t₀，则经过算子T后T[x（t－t₀）]为

而

比较以上两式有y（t－t₀）≠T[x（t－t₀）]，因此系统是时变的。

③因果性

令t＝3有y（3）＝x（3）＋x（5），说明当前响应与未来激励相关，因此系统是非因果的。

④稳定性

若x（t）有界，则y（t）＝x（t）＋x（t＋2）显然也是有界的，因此该系统是稳定的。

综上所述，该系统是线性、时变、非因果、稳定系统。

二、填空题

1计算积分______。[北京邮电大学2016研]

【答案】1

【解析】已知冲激偶积分公式

故

2某连续时间系统的输入为x（t），零状态响应为y_m（t）＝3x（t）＋4，试判断该连续时间系统是否为线性系统______，是否为非时变系统______。[北京交通大学2015研]

【答案】否；是

【解析】因为3[x₁（t）＋x₂（t）]＋4≠[3x₁（t）＋4]＋[3x₂（t）＋4]＝y₁（t）＋y₂（t），因此该系统是非线性的；又因为3x（t－t₀）＋4＝y（t－t₀），因此该系统是非时变的。

3______。[北京交通大学2015研]

【答案】1/2

【解析】依题意有

4积分的值＝______。[华中科技大学2012研]

【答案】－2cos2

【解析】根据冲击偶函数的性质有

三、判断题

1信号x（t）经过一个连续时间系统的输出为y（t）＝x（2t），该系统是时变系统。（　　）[北京邮电大学2016研]

【答案】对

【解析】由时不变判断方法可知，y（t－t₀）＝x[2（t－t₀）]≠T[x（t－t₀）]＝x（2t－t₀），因此系统是时变系统。

2信号x（t）经过一个连续时间系统的输出为

T为非零实常数，该系统是因果系统。[北京邮电大学2016研]

【答案】错

【解析】因果系统是指系统在t₀时刻的响应只与t＝t₀和t＜t₀时刻的输入有关，而该连续时间系统输出y（t）在t时刻的响应与时间段t－T/2＜t_i＜t＋T/2内的输入均有关，因此该系统是非因果系统。

3两个线性时不变系统相级联的先后顺序不影响总的输入输出关系。（　　）[中山大学2010研]

【答案】对

【解析】线性时不变系统级联，总的系统函数相当于各个系统函数相卷积，根据卷积的性质，卷积的次序是可以交换的。

4卷积可用于非线性时不变系统。（　　）[南京大学2010研]

【答案】错

【解析】设激励信号为e（t），系统的零状态响应为r（t），则

此运算是线性时不变系统的输入和系统函数的卷积运算，因此若要满足上式，则系统必须要有叠加性，即要求是线性的；应用于非线性系统时，由于违反了叠加定理，因此不能使用。

四、简答题

分析系统y（t）＝f（1－t）的线性、因果和时变特性。[西安电子科技大学2017研]

答：（1）线性

设系统算子为T，则c₁f₁（t）＋c₂f₂（t）通过系统后的结果T[c₁f₁（t）＋c₂f₂（t）]为：c₁f₁（1－t）＋c₂f₂（1－t）＝c₁y₁（t）＋c₂y₂（t），因此系统是线性的。

（2）因果性

令t＝0有y（0）＝f（1），说明当前响应与未来激励相关，因此系统是非因果的。

（3）时不变

令t→t－t₀，则经过算子T后T[f（t－t₀）]为f（1－t－t₀），而y（t－t₀）＝f[1－（t－t₀）]＝f（1－t＋t₀）。

比较以上两式有y（t－t₀）≠T[f（t－t₀）]，因此系统是时变的。

综上所述，该系统是线性、非因果、时变系统。

五、画图题

1已知函数和f₂（t）的波形如图1-3-1所示。画出y₁（t）＝f₁（t＋1）u（－t）和y₂（t）＝f₂（5－3t）的波形。[西安电子科技大学2017研]

图1-3-1

答：y₁（t）的波形如图1-3-2所示。

图1-3-2

根据f₂（t）的波形图可知，f₂（t）＝9δ（t＋1），因此y₂（t）的表达式为y₂（t）＝f₂（5－3t）＝3δ（t－2），则y₂（t）的波形图如图1-3-3所示。

图1-3-3

2已知f（t）波形如图1-3-4所示，请画出信号f₁（t）＝f（2－t）u（4－t）的波形图。[武汉大学2015研]

图1-3-4

答：将f（t）先翻转然后右移两个单位后取t＜4的部分即可，如图1-3-5所示。

图1-3-5

3信号x（t）如图1-3-6所示，画出信号的图形。[北京邮电大学2012研]

图1-3-6

答：如图1-3-7（d）所示。

图1-3-7

4粗略画出函数式的波形图。[中山大学2011研]

答：此函数是Sa函数的尺度变换和位移变换，函数式的波形图如图1-3-8所示。

图1-3-8

5已知f（t）的波形如图1-3-9所示，试画出f（5－2t）的波形。[武汉理工大学2010研]

图1-3-9

答：由f（t）的波形可知f（﹣t）波形如图1-3-10所示。

图1-3-10

由f（﹣t）波形得f（﹣2t）波形如图1-3-11所示。

图1-3-11

由以上得波形如图1-3-12所示。

图1-3-12

六、计算题

1。[西安电子科技大学2017研]

解：根据冲激函数性质有

2计算下列积分。[武汉大学2015研]

（1）

（2）

解：（1）

（2）

3任意信号是如何分解成无穷多个单位阶跃信号或无穷多的单位冲激信号的？请阐述之。[武汉大学2015研]

答：以冲激响应为例，这种分解思路是先把信号f（t）分解成宽度为∆t的矩形窄脉冲之和，任意时刻k∆t的矩形脉冲幅度为f（k∆t）。假设f（t）为因果信号，则f（t）可表示为

令窄脉冲宽度∆t→0，并对其取极限，得到

此时k∆t→τ，∆t→dτ，，即求和运算变为积分运算。于是，用冲激函数表示任意信号的积分形式为

同理，任意信号用阶跃函数表示为

4已知信号如图1-3-13所示。

图1-3-13

（1）求x（t）与的表达式

（2）画出的图形

（3）画出x（2－t）u（﹣t）的图形。[电子科技大学2013研]

解：（1）根据x（t）的波形可以直接写出x（t）的表达式为x（t）＝（t－1）[u（t）－u（t－1）]＋2[u（t－1）－u（t－2）]＋（2－t）[u（t－2）－u（t－3）]＝（t－1）u（t）－（t－3）u（t－1）－tu（t－2）＋（t－2）u（t－3）。因此的表达式为

（2）的图形如图1-3-14所示。

图1-3-14

（3）利用信号的基本运算方法可得x（2－t）u（﹣t）的图形如图1-3-15所示。

图1-3-15