第三节 资金等值计算公式及其应用
一 资金等值的概念
在交通运输工程经济分析中，为了考察投资项目的经济效果，必须对项目寿命期内不同时间发生的收入和支出进行计算和分析。在考虑资金时间价值的情况下，不同时间发生的收入或支出，其数值不能直接进行比较，只能通过资金等值计算将它们换算到同一时点上进行分析比较。资金等值是指在考虑资金时间价值因素的情况下，不同时点发生数额不等的资金在一定利率条件下具有相等的价值。例如，现在的1000元与一年后的1050元，数量上并不相等，但如果将这笔资金存入银行，年利率为5%，则两者是等值的。因为现在存入的1000元，一年后的本金和利息之和为1000×（1+5%）=1050元。
资金等值的概念中有两点值得注意：其一，等值是以特定的利率为前提；其二，在利率一定的情况下，总存在一笔资金与另一笔资金等值。所以，资金的等值与资金的多少、资金发生的时间和利率三因素有关。
二 资金等值的计算
在对多个方案进行比较时，由于资金时间价值的作用，使得各方案在不同时间点上发生的现金流量无法直接比较，利用等值的概念，可以将在一个时点发生的资金额换算成另一时点的等值金额，这一过程叫资金等值计算。资金等值计算一般是计算一系列现金流量的现值、将来值和等额年值。
现值计算是把将来某一时点的资金金额或一系列的资金金额换算成较早时间的等值金额，这个过程称为“折现”或“贴现”。在折算中使用的反映资金时间价值的参数叫“折现率”。通常用i表示。将来时点上的资金折现后的资金金额称为“现值”。通常用P表示。
将来值计算是将任何时间发生的资金金额换算成其后某一时点等值金额的过程，与现值等价的将来某时点的资金金额称为“终值”。通常用F表示。
等额年值计算是将任何时间发生的资金金额转换成与其等值的每期期末相等金额的过程，间隔相等时期每期期末相等的金额称为“年金”或“年值”。通常用A表示。
根据现金的不同支付方式，下面介绍几个主要的资金等值计算公式。
1.一次支付类型普通复利计算公式
一次支付（又称整付）是指所分析系统的现金流量，无论是流入还是流出，均在一个时点上一次发生。一次支付类型普通复利计算公式包括一次支付终值公式和一次支付现值公式两个计算公式。
（1）一次支付终值公式
一次支付终值公式是计算现在时点发生的一笔资金的将来值。其计算公式为：
F=P（1+i）n=P（F/P，i，n） （2-15）
式（2-15）中的（1+i）n称为一次支付终值系数，也可以用符号（F/P，i，n）表示。（F/P，i，n）中斜线右边的大写字母表示已知因素，左边字母表示欲求的因素，整个（F/P，i，n）符号表示在已知i、n和P的情况下求解F的值。
为了计算方便，将一次支付终值系数及后面介绍的各复利系数在不同的i和n情况下的值，预先算好列成表，此表称为普通复利系数表（见附录A），以供计算时查阅。一次支付终值公式的现金流量图如图2-2所示。
图2-2 一次支付终值公式现金流量图
【例2-5】某运输企业现在把500万元存入银行，银行年利率为4%，计算3年后该笔资金的本利和。
【解】这是一个已知现值求终值的问题，由公式（2-15）可得：
F=P（1+i）3=500×（1+4%）3=562.43（万元）
即500万元资金在年利率为4%时，经过3年后变为562.43万元，增值62.43万元。这个问题也可以查表计算。
由复利系数表（见附录A）可查得：（F/P，4%，3）=1.1249
所以，F=P（F/P，i，n）=P（F/P，4%，3）=500×1.1249=562.45（万元）
（2）一次支付现值公式
一次支付现值公式是已知终值F求现值P的等值公式，是一次支付终值公式的逆运算。由式（2-15）可以直接导出。
P=F（1+i）-n=F（P/F，i，n） （2-16）
系数（1+i）-n称为一次支付现值系数，亦可记为（P/F，i，n）。
其现金流量图如图2-3所示。
图2-3 一次支付现值公式现金流量图
【例2-6】如果银行年利率为5%，某运输企业为了在5年后获得100万元，现在应存入多少现金？
【解】这是一个根据终值求现值的问题，根据公式（2-16）可得：
P=F（1+i）-n=100×（1+5%）-5=78.35（万元）
即现在应存入银行78.35万元。
也可以通过查表，根据公式（2-16）得出。从附录A可查得：（P/F，5%，5）=0.7835，所以P=F（P/F，i，n）=100（P/F，5%，5）=78.35（万元）。
2.等额支付类型复利公式
等额支付是多次支付中的一种。多次支付是指现金流入和流出在多个时点上发生，而不是集中在某个时点上。现金流量数额可以相等，也可以不等。当现金流量序列是连续的，且数额相等，则称之为等额系列现金流量。它包括下述四个基本公式。
（1）等额支付终值公式
式中A为普通年金（即现金流量从现期的期末开始），若现金流量为即时年金（即现金流量即刻开始），应转化为普通年金，将年金乘以（1+i）。[（1+i）n-1]/i为等额支付终值系数，记为（F/A，i，n），其他符号同前。
式（2-17）表示每年（期）末支付或收入年金A，在复利利率为i的条件下，n年（期）末一次性收回或支出的资金额。其现金流量图如图2-4所示。
图2-4 等额支付系列复利现金流量图
根据一次支付终值公式分别计算各年末到n年末的终值，然后求其和就是所求的终值F。具体推导过程如下：
F=A（1+i）0+A（1+i）1+A（1+i）2+A（1+i）3+…+A（1+i）n-1
=〔A（1+i）0-A（1+i）n-1（1+i）〕/（1-1-i）
=A[（1+i）n-1]/i
即
【例2-7】某运输工程项目总投资100亿元，5年建成，每年末投资20亿元，年利率为6%，求第5年末的实际累计总投资额。
【解】这是一个已知年金求终值的问题，根据公式（2-17）可得：
即第5年末的实际累计总投资额为112.74亿元。
【例2-8】某运输工程项目总投资100亿元，5年建成，每年初投资20亿元，年利率为6%，求第5年末的实际累计总投资额。
【解】本题中的年金是即时年金，应将它化为普通年金后计算。
即第5年末的实际累计总投资额为119.51亿元。
将例2-7和例2-8进行比较可知，在其他条件相同的情况下，每年投资发生在期初的累计总投资额比发生在期末的累计总投资额要多。
（2）等额支付偿债基金公式（简称为偿债基金公式）
等额支付偿债基金就是指为了在期末偿还债务F而预先准备的年金。其计算公式为：
式中i/[（1+i）n-1]为等额支付偿债基金系数，记为（A/F，i，n），它表示在给定的年限内为达到清偿单位货币而需要每年（期）存入等额存款准备基金的系数，其他符号同前。
公式（2-18）也表示为了在第n年末得到一笔资金F，在年利率为i的条件下，需要在n年内每年年末支付的资金。等额支付系列偿债基金现金流量图如图2-5所示。
图2-5 等额支付系列偿债基金现金流量图
【例2-9】某运输企业预计第七年末需要一笔资金1500万元，在年利率为6%的条件下，在7年之内每年年末应存入银行多少资金？
【解】这是一个已知终值求年金的问题，根据公式（2-18）可得：
A=1500×6%/[（1+6%）7-1]=178.7（万元）
即每年年末应存入银行178.7万元。
（3）等额支付现值公式（简称年金现值公式）
根据等额支付终值公式（2-17）和一次支付现值公式（2-16）可以推出等额支付现值公式为：
式中[（1+i）n-1]/[i（1+i）n]为等额支付现值系数，记为（P/A，i，n），它表示未来每年（期）提取的单位货币额的现值总额的贴现系数，其他符号同前。
公式（2-19）表示在年利率为i的条件下，为了在n年内，每年年末取得等额资金A，现在必须投入的资金。现金流量图如图2-6所示。
图2-6 等额支付系列现值公式现金流量图
【例2-10】某货运仓库估计能用60年，每年末的维修费为5万元，若年利为6%，仓库60年寿命期内的维修费的现值是多少？
【解】这是一个已知年金求现值的问题，根据公式（2-19）可得：
P=5×｛〔（1+6%）60-1〕/〔6%（1+6%）60〕｝=80.81（万元）
即仓库60年寿命期内的维修费的现值是80.81万元。
（4）等额支付资金回收公式（简称资金回收公式）
根据等额支付现值公式（2-19）可以推导出以下公式：
式中i（1+i）n/[（1+i）n-1]为等额支付资金回收系数，记为（A/P，i，n），它表示在未偿清部分按复利计息的条件下，在给定的年限内清偿单位货币额时每年（期）应还固定金额的系数，其他符号同前。
式（2-20）表示若现在投资P，每年年末等额回收资金，为了在n年内收回全部资金，在年利率为i的条件下，在n年内每年年末应收回的资金。其现金流量图如图2-7所示。
图2-7 等额支付系列资金回收现金流量图
【例2-11】某交通运输工程项目投资1亿元，年利率为8%，预计10年内全部回收，问每年年末等额回收多少资金？
【解】这是一个已知现值求年金的问题，根据公式（2-20）可得：
A=10000×｛8%（1+8%）10/〔（1+8%）10-1〕｝=1490.3（万元）
即每年年末等额回收1490.3万元。
上述六个基本公式系数之间的关系可用图2-8表示。
图2-8 6个基本等值计算公式系数之间的关系图
从图2-8可知，6个基本的等值计算公式的系数之间存在以下3种关系：
（1）倒数关系：（P/F，i，n）=1/（F/P，i，n）
（P/A，i，n）=1/（A/P，i，n）
（F/A，i，n）=1/（A/F，i，n）
（2）乘积关系：（F/P，i，n）（A/F，i，n）=（A/P，i，n）
（F/A，i，n）（P/F，i，n）=（P/A，i，n）
（3）其他关系：资金回收系数与偿债基金系数之间的关系：
（A/P，i，n）=（A/F，i，n）+i
推导：
i（1+i）n/[（1+i）n-1]
={[i（1+i）n-i]+i}/[（1+i）n-1]
=i[（1+i）n-1]/[（1+i）n-1]+i/[（1+i）n-1]
=i+i/[（1+i）n-1]
3.等差序列类型复利公式
在许多实际的交通运输工程技术经济问题中，资金的收付在各年经常是不等的，如运输设备的维修费用逐年增加。如果每年现金流量的增加额或减少额都相等，则称之为定差（或等差）数列现金流量。这种情况前面介绍的6个基本公式就不适用了，当然也可用一次支付公式计算，但烦琐，工作量大。
（1）等差序列现值公式
设有一资金序列At是等差数列（等差为G），则有At=A1+（t-1）·G（其中t=1，2，…，n），现金流量图如图2-9所示。
现将图2-9分解为图2-10和图2-11，则：
P=PA+PG
又 PA=A1·（P/A，i，n）
①式两边同乘（1+i），得：
②式-①式，得：
故P=A1·（P/A，i，n）+G·（P/G，i，n）
式中（P/G，i，n）为等差序列现值系数。
由此可知：
①当n为有限年时，等差序列现值公式为
②当n为无限年即n→∞时，等差序列现值公式为
注意：定差G从第二年开始，其现值必位于G开始的前两年。
（2）等差序列终值公式
由F与P的关系可得
即 F=A1（F/A，i，n）+G（F/G，i，n） （2-23）
式中（F/G，i，n）为等差序列终值系数。
（3）等差序列等额年金公式
由A与P的关系可得
即 A=A1+G（A/G，i，n） （2-24）
式中（P/G，i，n）为等差序列年金系数。
注意：以上等差序列的计算公式中，当现金流量等差递增时，公式中的G为正值，当现金流量等差递减时，公式中的G为负值。
【例2-12】某运输设备期初投资500万元，使用该设备每年末增加的费用分别为80万元、110万元、140万元……，也即每年增加30万元。设备寿命为7年，若计算利率为10%，则使用该设备总费用的现值、年值各为多少？
【解】依题意可画出图2-12所示的现金流量图。将图2-12分解为图2-13和图2-14后可以利用公式求解。则总费用的现值为：
P=500+80（P/A，10%，7）+30（P/G，10%，7）=1272（万元）
年值为：A=1272（A/P，10%，7）=261（万元）
或A=500（A/P，10%，7）+80+30（A/G，10%，7）
=500×0.205+80+30×2.62=261（万元）
图2-12 现金流量图
图2-13 现金流量图
图2-14 现金流量图
4.几何序列复利公式
在许多实际的交通运输工程技术经济问题中，如果每年现金流量按一定的比例逐年递增或递减，则称此类现金流量为等比序列现金流量。等比序列现金流量图如图2-15所示。
图2-15 等比序列现金流量
设A1为第一年末的净现金流量，j为现金流量逐年递增的比率，其余符号同前。等比序列现金流量的通式为：
At=A1（1+j）t-1，（t=1，2，…，n） （2-25）
式中：
A1——第一年末的净现金流量；
At——第t年末的净现金流量；
j——等比系数。
因此，等比序列现金流量的现值为：
P=A1（1+i）-1+A1（1+j）（1+i）-2+A1（1+j）2（1+i）-3+
…+A1（1+j）n-1（1+i）-n
当i≠j时，
当i=j时，
利用上述公式可得等比序列现金流量的终值为：
当i≠j时，
当i=j时，F=A1n（1+i）n-1 （2-29）
等比序列现金流的年值为：
当i≠j时，
当i=j时，
注意：在上述等比序列的计算公式中，当现金流量等比递增时，公式中的j为正值，当现金流量等比递减时，公式中的j为负值。
【例2-13】某货车目前年租金为3万元（假设每年末支付），预计租金水平今后10年内每年将上涨5%。若将该货车买下来，需一次支付40万元，但十年后估计仍可以40万元的价格售出。按折现率为8%计算，是租合算还是买合算？
【解】若租用该货车，10年内全部租金的现值为：
若购买该货车，全部费用的现值为：
P2=400000-400000（1+0.08）-10=214722.61（元）
由此可知买下该货车费用更少，买合算。
三 资金等值计算公式的应用
1.直接利用上述基本公式计算未知项
在i、n一定的情况下，已知P、F、A中的任意一项，可以求出另外两项。
【例2-14】若年利率i=5%，按年计息，试求图所示连续5年末的等额支付终值、现值。（单位：万元）
图2-16 每年末支付的现金流量图
【解】利用年金终值公式求终值F：
F=A（F/A，i，n）=500（F/A，5%，5）
=500×5.52563=2762.82（万元）
利用年金现值公式求现值P：
P=A（P/A，i，n）=500（P/A，5%，5）
=500×4.32948=2164.74（万元）
2.多次利用上述基本公式计算未知项
【例2-15】某运输设备的维修费是第1年至第5年每年年末需支付2000元，第6年年末支付2500元，第7年至第10年每年年末需支付3000元，第11年年末支付4000元，第12年年末需支付5000元。假如按年利率5%计息，与其等值的现金流量的现值为多少？
【解】现金流量图如图2-17所示。
图2-17 现金流量图
P＝2000×（P/A，5%，5）＋2500×（P/F，5%，6）
＋3000×（P/A，5%，4）×（P/F，5%，6）＋4000×（P/F，5%，11）
＋5000×（P/F，5%，12）
＝2000×4.239＋2500×0.7426＋3000×3.546×0.7426
＋4000×0.5847＋5000×0.5568
＝23357.08（元）
3.利用复利系数表计算未知利率、未知期（年）数
【例2-16】要使目前的1000元与10年后的2000元等值，年利率应为多少？
【解】方法一：P＝1000元，F＝2000元，n＝10年
由F＝P（1＋i）n
得：2000＝1000×（1＋i）10
解之得：i＝7.18%
方法二：
由F＝P（F/P，i，n）
得：2000＝1000×（F/P，i，10）
所以（F/P，i，10）＝2.0
查一次支付复利系数表得：
i＝7%时，（F/P，i，10）＝1.9671
i＝8%时，（F/P，i，10）＝2.1589
用插值法求：
故年利率应为7.17%。
【例2-17】在年利率5%的条件下，现在存入银行的1000元，多少年后本利和为3000元？
【解】方法一：P＝1000元，F＝3000元，i＝5%
由 F＝P（1＋i）n
得：3000＝1000×（1＋5%）n
解之得：n＝22.52（年）
方法二：
由 F＝P（F/P，i，n）
得：3000＝1000×（F/P，5%，n）
所以（F/P，5%，n）＝3.0
查5%的一次支付复利系数表得：
n＝22时，（F/P，5%，22）＝2.9253
n＝23时，（F/P，5%，23）＝3.0715
用插值法求：
由此可知，22.51年后本利和为3000元。
复习思考题
1.什么是现金流量？
2.资金时间价值的含义是什么？
3.什么是资金等值？
4.单利与复利有何区别？
5.名义利率与实际利率有何关系？
6.什么是现金流量的现值、终值和年金？
7.某运输企业拟向银行借款1500万元，5年后一次还清。甲银行贷款年利率为4%，按年计息；乙银行贷款年利率为3.8%，按月计息。试问该企业向哪家银行贷款较为经济？
8.某运输企业向银行借款1000万元，借期为5年，利率为6%，试分别用单利和复利计算借款的利息。
9.某运输企业获得100万元贷款，偿还期为5年，利率为7%。在下列几种还款方式中，按复利计算法计算此企业还款总额和利息总额各是多少？
①每年末只偿还20万元本金，所欠利息第5年末一次还清；
②每年末偿还20万元本金和当年利息；
③每年末偿还所欠利息，第5年末一次还清本金；
④第5年末一次还清本利。
10.某运输企业连续4年每年年初存入银行10万元，年利率为4%，按复利计算，此企业第4年末可从银行取出多少钱？
11.某运输企业准备设立一项永久性奖励基金，从明年开始每年奖励一次，每次奖金额为20万元，设5%的年利率一直保持不变，则该企业现在应存入多少万元？
12.某运输企业向银行贷款200万元购买运输车辆，计划2年内每月等额还款（本金加利息），若年利率为6%，求每月的还款额是多少？