2.5 矩阵

MATLAB为Matrix Laboratory（矩阵实验室）的缩写，可见该软件在处理矩阵问题上的优势。

按照空间结构分类，矩阵可分为一维矩阵、二维矩阵、三维矩阵，向量可以看成是一维矩阵，因此，向量中的点积、叉集运算在矩阵中也适用，本节不再赘述。

2.5.1 矩阵的生成

矩阵的生成主要有直接输入法、M文件生成法和文本文件生成法等。

1.直接输入法

在键盘上直接按行方式输入矩阵是最方便、最常用的创建数值矩阵的方法，尤其适合较小的简单矩阵。在用此方法创建矩阵时，应当注意以下几点。

◆输入矩阵时要以“[]”为其标识符号，矩阵的所有元素必须都在括号内。

◆矩阵同行元素之间由空格（个数不限）或逗号分隔，行与行之间用分号或<Enter>键分隔。

◆矩阵大小不需要预先定义。

◆矩阵元素可以是运算表达式。

◆若“[]”中无元素，表示空矩阵。

◆如果不想显示中间结果，可以用“；”结束。

例2-23：创建矩阵示例。

解：MATLAB程序如下。

在输入矩阵时，MATLAB允许方括号里还有方括号，结果跟不加方括号是一样的。

2.利用M文件创建

当矩阵的规模比较大时，直接输入法就显得笨拙，出差错也不易修改。为了解决这些问题，可以将所要输入的矩阵按格式先写入一文本文件中，并以m作为此文件的扩展名，即M文件。

M文件是一种可以在MATLAB环境下运行的文本文件，它可以分为命令式文件和函数式文件两种。在此处主要用到的是命令式M文件，用它的简单形式来创建大型矩阵。在MATLAB命令窗中输入M文件名，所要输入的大型矩阵即可被输入到内存中。

M文件中的变量名与文件名不能相同，否则会造成变量名和函数名的混乱。

例2-24：编制M文件，包含表2-20中20位25～34周岁的健康女性的测量数据。

表2-20 测量数据

解：在M文件编辑器中输入以下内容。

以文件名“healthy_women.m”保存，然后在MATLAB命令窗口中输入文件名，得到下面的结果。

3.利用文本创建

MATLAB中的矩阵还可以由文本文件创建，即在文件夹（通常为work文件夹）中建立txt文件，在命令窗口中直接调用此文件名即可。

例2-25：用文本文件创建矩阵x，其中

x=1 2 3

4 5 6

7 8 10

解：在记事本中建立以下文件，并以wenben.txt保存。

1 2 3

4 5 6

7 8 10

在MATLAB命令窗口中输入以下内容。

2.5.2 特殊矩阵

在工程计算以及理论分析中，经常会遇到一些特殊的矩阵，比如全0矩阵、全1矩阵单位矩阵、随机矩阵等。对于这些矩阵，在MATLAB中都有相应的命令可以直接生成。

1.全0矩阵

在MATLAB中，全零矩阵使用zeros命令表示，该命令的调用格式见表2-21。

表2-21 zeros调用格式

例2-26：全0矩阵生成示例。

解：在MATLAB命令窗口中输入以下命令。

2.全1矩阵

在MATLAB中，全1矩阵使用ones命令表示，该命令的调用格式见表2-22。

表2-22 ones调用格式

例2-27：全1矩阵生成示例。

解：在MATLAB命令窗口中输入以下命令。

3.单位矩阵

若λ₁=λ₂=…=λ_n=1，即

将该矩阵称为单位矩阵。

如果A为m×n矩阵，那么E_mA=AE_n=A。在MATLAB中，单位矩阵使用eye命令表示，该命令的调用格式见表2-23。

表2-23 eye调用格式

4.魔方矩阵

在MATLAB中，magic函数用来生成零矩阵，该命令的调用格式见表2-24。

表2-24 magic调用格式

例2-28：魔方矩阵示例。

解：在MATLAB命令窗口中输入以下命令。

5.希尔伯特矩阵

在MATLAB中，hilb函数用来生成希尔伯特（Hilbert）矩阵，逆希尔伯特矩阵的函数为invhilb，其调用方法见表2-25。

表2-25 hilb调用格式

在MATLAB中，invhilb函数用来生成逆希尔伯特矩阵，其调用方法见表2-26。

表2-26 invhilb调用格式

例2-29：创建希尔伯特矩阵。

解：在MATLAB命令窗口中输入以下命令。

6.测试矩阵

在MATLAB中，利用gallery生成测试矩阵，它的使用格式见表2-27。

表2-27 gallery命令的使用格式

表2-28 matrixname的名称

（续）

（续）

例2-30：生成对称矩阵。

解：在MATLAB命令窗口中输入以下命令。

例2-31：生成豪斯霍尔德矩阵。

解：在MATLAB命令窗口中输入以下命令。

7.随机矩阵

rand函数、randi函数和randn函数使用随机数生成器生成随机矩阵，具体的调用格式见表2-29。

在MATLAB中rng函数控制随机数生成，具体的调用格式见表2-30。

表2-29 函数调用格式

表2-30 rng函数调用格式

例2-32：检索和还原生成器设置。

解：在MATLAB命令窗口中输入以下命令。

2.5.3 矩阵元素函数

矩阵建立起来之后，还需要对其元素进行引用、修改。表2-31列出了矩阵元素的引用格式，表2-32列出了常用的矩阵元素修改命令。

表2-31 矩阵元素的引用格式

表2-32 矩阵元素修改命令

例2-33：矩阵元素的引用。

解：在MATLAB命令窗口中输入以下命令。

例2-34：扩充矩阵。

解：在MATLAB命令窗口中输入以下命令。

不但矩阵元素可以引用修改，矩阵的维度和方向也可以进行变换，常用的矩阵变维命令见表2-33。常用的矩阵变向命令见表2-34。

表2-33 矩阵变维命令

表5-34 矩阵变向命令

1.矩阵的旋转

在MATLAB中，rot90命令用于将数组旋转90°，该命令的格式与说明见表2-35。

表2-35 rot90命令

例2-35：旋转矩阵示例。

解：在MATLAB命令窗口中输入以下命令。

2.矩阵的镜像

在MATLAB中，flip命令用于镜像矩阵，翻转矩阵元素，该命令的格式与说明见表2-36。

表2-36 flip命令

数组的镜像变换实质是翻转矩阵元素的操作，分为两种：左右翻转与上下翻转。

◆flip（A，1）将翻转每一列中的元素

◆flip（A，2）将翻转每一行中的元素。

例2-36：数组上下翻转示例。

解：在MATLAB命令窗口中输入以下命令。

在MATLAB中，还包括专门的左右翻转与上下翻转命令，下面分别进行介绍。

（1）左右翻转

使用fliplr函数将矩阵中的元素左右翻转，调用方法如下。

例2-37：矩阵左右翻转示例。

解：在MATLAB命令窗口中输入以下命令。

（2）上下翻转

使用flipud函数将矩阵中的元素上下翻转，调用方法如下。

例2-38：矩阵左右翻转示例。

解：在MATLAB命令窗口中输入以下命令。

例2-39：矩阵的变维示例。

解：在MATLAB命令窗口中输入以下命令。

例2-40：矩阵串联与变向示例。

解：在MATLAB命令窗口中输入以下命令。

3.矩阵带宽

矩阵带宽是显示器视频放大器通频带宽度的简称，凡电子电路都存在一个固有的通频带。带宽越宽，响应速度就越快，允许通过的信号频率就越高，信号失真也越小。

矩阵的上带宽和下带宽是通过求包含非零值的最远一个对角线（分别在主对角线上方或下方）测得的。

对于包含元素A_ij的矩阵A：

●上带宽B₁是最小数，这样无论何时j-i>B₁，A_ij=0。

●下带宽B₂是最小数，这样无论何时i-j<B₂，A_ij=0。

在MATLAB中，bandwidth命令用于得到矩阵的上下带宽，该命令的格式与说明见表2-37。

表2-37 bandwidth命令

在MATLAB中，isbanded命令用于矩阵是否位于特定的下带宽和上带宽范围内，该命令的格式与说明见表2-38。

表2-38 isbanded命令

例2-41：矩阵带宽示例。

解：MATLAB程序如下。

2.5.4 对角矩阵

对矩阵元素的修改的特例包括对角元素和上（下）三角阵的抽取。在MATLAB中包括专用的命令。

1.对角矩阵

n阶矩阵显示格式为

则称该矩阵为对角矩阵。两个对角矩阵的和是对角矩阵，两个对角矩阵的积也是对角矩阵。

对于矩阵A∈C^n×n，所谓的矩阵对角化就是找一个非奇异矩阵P，使得

其中，λ₁，…，λ_n为A的n个特征值。

矩阵对角化在实际中可以大大简化矩阵的各种运算，但不是每个矩阵均可进行对角化转换，因此判断矩阵是否可以进行对角化转换是首要步骤。

◆定理1：n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。

◆定理2：矩阵A可对角化的充要条件是A的每一个特征值的几何重复度等于代数重复度。

◆定理3：实对称矩阵A总可以对角化，且存在正交矩阵P，使得

其中，λ₁，…，λ_n为A的n个特征值。

对于矩阵，斜对角上的元素是主对角线元素，如图2-5所示，包括a₁₁，a₂₂，…，a_mn。

图2-5 主对角元素

在MATLAB中，diag命令用于抽取矩阵的对角线上的元素，组成对角线数组，该命令的格式与说明见表2-39。

表2-39 diag命令

在MATLAB中，isdiag命令用于确定矩阵是否为对角矩阵，该命令的格式与说明见表2-40。

表2-40 isdiag命令

例2-42：矩阵对角线抽取示例。

解：MATLAB程序如下。

2.上对角矩阵

在MATLAB中，triu命令用于抽取矩阵的对角线上三角部分的元素，下三角元素使用0替代，组成上对角线矩阵，如图2-6所示，该命令的格式与说明见表2-41。

图2-6 上三角矩阵转换

表2-41 triu命令

例2-43：上对角矩阵示例。

解：MATLAB程序如下。

在MATLAB中，istriu命令用于确定矩阵是否为上三角矩阵，该命令的格式与说明见表2-42。

表2-42 istriu命令

例2-44：上三角矩阵示例。

解：MATLAB程序如下。

3.下对角矩阵

在MATLAB中，tril命令用于抽取矩阵的对角线下三角部分的元素，其余部分用0替代，组成下三角矩阵，如图2-7所示，该命令的格式与说明见表2-43。

图2-7 下三角矩阵转换

表2-43 tril命令

在MATLAB中，istril命令用于确定矩阵是否为下三角矩阵，该命令的格式与说明见表2-44。

表2-44 istril命令

例2-45：下三角矩阵示例。

解：MATLAB程序如下。

2.5.5 矩阵基本运算

矩阵的基本运算包括加、减、乘、数乘、点乘、乘方、左乘、右乘、求逆等。其中加、减、乘与大家所学的线性代数中的定义是一样的，相应的运算符为“+”“-”“∗”，而矩阵的除法运算是MATLAB所特有的，分为左除和右除，相应运算符为“\”和“/”。

MATLAB的除法运算较为特殊。对于简单数值而言，算术左除与算术右除不同。算术右除与传统的除法相同，即a/b=a÷b；而算术左除则与传统的除法相反，即a\b=b÷a。

对矩阵而言，算术右除B/A相当于求解线性方程X∗A=B的解；算术左除A\B相当于求解线性方程A∗X=B的解。点左除与点右除与上面点运算相似，是变量对应于元素进行点除。

例2-46：矩阵的基本运算示例。

解：MATLAB程序如下。

MATLAB以矩阵为基本运算单元，而构成矩阵的基本单元是数据。为了更好地学习和掌握矩阵的运算，本章首先对数据的基本函数作简单介绍。

另外，常用的运算还有指数函数、对数函数、平方根函数等。用户可查看相应的帮助获得使用方法和相关信息。