2.5　优化算法

拓扑优化是一类具有大规模设计变量的非线性规划问题，优化模型的高维度导致其求解困难。根据拓扑优化模型的不同特点，所采用的优化算法也不尽相同。在各类优化算法中，基于梯度的优化算法具有独特的优势[37]。在拓扑优化领域，发展较为成熟的梯度优化算法主要包括优化准则法（optimality criteria，OC）[24]和移动渐近线法（method of moving asymptotes，MMA）[25]。MMA是数学规划法（mathematical programming，MP）中的一种常用方法，具有严谨的理论基础和数学推导过程，适用于具有复杂目标函数和多约束的结构拓扑优化问题。OC法简单直接、迭代收敛快，对于约束条件较少的大规模结构优化设计问题尤为高效。本章将主要采用OC法作为优化算法。

在参数化水平集方法中，设计变量α_i是径向基函数插值的扩展系数，因此在迭代过程中无法直接指定其固定的上下界限α_max和α_min。然而，在实际数值操作中可以给出规范化设计变量 的上下限 ，并以此作为OC法的边值约束来稳定迭代过程。针对所讨论的优化问题，可构建如下OC迭代算法：

步骤1　计算规范化的设计变量：

其中，ξ代表当前的迭代步。

步骤2　基于Kuhn-Tucker条件[36]，[37]，构造如下启发式迭代格式更新规范化设计变量

式（2-63）中，引入移动极限σ和阻尼算子l以稳定优化迭代过程，且有0<σ<1和0<l<1。此外，规范化的设计变量上下限分别指定为 =1和 =0.001。 可由下述公式计算得到：

其中，常量μ=1E-10用于避免分母中出现为“0”的项。在每次迭代中，拉格朗日算子由二分法[37]确定。

步骤3　更新设计变量：

步骤4　重复步骤1到步骤3直到算法收敛。将第ξ次迭代与第ξ-1次迭代的目标函数之差的绝对值记为γ（ξ），算法的收敛条件为γ（ξ-2）、γ（ξ-1）和γ（ξ）同时小于0.0001。